Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且b²=ac=a²-c²+bc．
（1）求

bsinB

c

的值；
（2）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，將已知的等式b²=a²-c²+bc變形后代入，求出cosA的值，再由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，然后由b²=ac表示出c，代入所求的式子中化簡后，再利用正弦定理得到sinA=

asinB

b

，可得所求的式子與sinA的值相等，由A的度數(shù)求出sinA的值，即為所求式子的值；
（2）三角形為等邊三角形，理由為：可設(shè)c=1，代入已知的等式中，再消去a，得到關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，進(jìn)而確定出a的值，發(fā)現(xiàn)a，b及c的值相等，根據(jù)三邊相等的三角形為等邊三角形可得證．

解答：解：（1）∵b²=a²-c²+bc，即b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又A為三角形的內(nèi)角，
∴A=

π

3

，…（3分）
又b²=ac，即c=

b2

a

，
∴

bsinB

c

=

absinB

b2

=

asinB

b

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinA=

asinB

b

，
∴

asinB

c

=sinA，又sinA=

3

2

，
則

bsinB

c

=

3

2

； …（7分）
（2）△ABC為等邊三角形，理由如下：…（9分）
證明：不失一般性，可設(shè)c=1，
∵b²=ac=a²-c²+bc，
∴b²=a=a²+b-1，
消去a得：b²=b⁴+b-1，即（b-1）（b³+b²+1）=0，
∵b³+b²+1≠0，
∴b-1=0，即b=1，
∴a=b²=1，
∴a=b=c=1，
則△ABC為等邊三角形．…（14分）

點(diǎn)評：此題考查了解三角形，以及三角形形狀的判斷，涉及的知識有：等邊三角形的判定，正弦、余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，特值法，以及方程的思想，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．