Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，試求a的取值范圍；
（2）設函數(shù)h(x)=

1

3

f′(x)+(2a+

1

3

)x-

8

3

a+1(x∈(-1，b](b＞-1))，如果存在a∈（-∞，-1]，對任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，試求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意知，f'（x）=3ax²+2x-a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有不重復的零點，由3ax²+2x-a=0，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，確定其值域，即可求得結(jié)論；
（2）存在a∈（-∞，-1]，對任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，等價于h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，進而分類討論，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意知，f'（x）=3ax²+2x-a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有不重復的零點…（1分）
由3ax²+2x-a=0，得a（3x²-1）=-2x…（2分）
∵3x²-1≠0，∴a=-

2x

3x2-1

…（3分）
令y=-

2x

3x2-1

，y′=

6x2+2

(3x2-1)2

＞0…（4分）
故y=-

2x

3x2-1

在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，其值域為(-1，-

4

11

)，
∴a的取值范圍是(-1，-

4

11

)…（6分）
（2）∵h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
由已知得：h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0…①…（7分）
當x=-1時，不等式①成立…（8分）
當-1＜x≤b時，不等式①化為：ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②…（9分）
令φ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由于二次函數(shù)φ（x）的圖象是開口向下的拋物線，
故它在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間端點處取得，又φ（-1）=-4a＞0…（10分）
∴不等式②恒成立的充要條件是φ（b）≥0，即ab²+（2a+1）b+（1-3a）≥0，

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

，
∵這個關于a的不等式在區(qū)間（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b-3

b+1

≤(-

1

a

)max，即

b2+2b-3

b+1

≤1，∴b²+b-4≤0…（11分）
∴

-1- 17

2

≤b≤

-1+ 17

2

，又b＞-1，故-1＜b≤

-1+ 17

2

…（12分）
從而bmax=

-1+ 17

2

，此時唯有a=-1符合條件…（14分）

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．