Question

7．已知函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值以及此時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求ω的值即可．
（2）x∈[0，2]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）
化簡(jiǎn)可得：f（x）=4cosωx•sinωx•cos$\frac{π}{4}$+4cos²ωx•sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$sin2ωx+2$\sqrt{2}$cos²ωx=$\sqrt{2}$sin2ωx+$\sqrt{2}$cos2ωx+$\sqrt{2}$=2sin（2ωx$+\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$．
∵f（x）的最小正周期為π．即$\frac{2π}{2ω}=π$．
∴ω=1．
∴f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$．
∵x∈[0，2]，
∴2x$+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$4+\frac{π}{4}$]．
結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知：當(dāng)2x$+\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$時(shí)，此時(shí)x=$\frac{π}{4}$．f（x）取得最小值為：$-1×2+\sqrt{2}$=$\sqrt{2}-2$．
∴f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值$\sqrt{2}-2$，此時(shí)x的值為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．