Question

9．已知雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，以線段F₁F₂為直徑的圓與雙曲線漸近線一個(gè)交點(diǎn)為（4，3），則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（　�。�

• A． 6
• B． 8
• C． 4
• D． 10

Answer 1

分析 根據(jù)題意，點(diǎn)（4，3）到原點(diǎn)的距離等于半焦距，可得a²+b²=25．由點(diǎn)（4，3）在雙曲線的漸近線上，得到$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，兩式聯(lián)解得出a=3，b=4，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦點(diǎn)在y軸上，下、上焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
∴以|F₁F₂|為直徑的圓的方程為x²+y²=c²，a
∵以|F₁F₂|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+9={c}^{2}}\\{4×\frac{a}=3}\end{array}\right.$，解得a=3，b=4，
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$．
雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=6，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．