Question

已知圓P：x²+y²-2y-3=0，拋物線C以圓心P為焦點，以坐標原點為頂點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設圓P與拋物線C在第一象限的交點為A，過A作拋物線C的切線與y軸的交點為Q，動點M到P、Q兩點距離之和等于6，求M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓x²+y²-2y-3=0的標準方程：x²+（y-1）²=4，可得圓的圓心P（0，1），根據(jù)拋物線C以圓心P為焦點，利用待定系數(shù)法可求拋物線的方程；
（2）聯(lián)立方程，組成方程組，根據(jù)圓P與拋物線C在第一象限的交點為A，可得A的坐標，進而可求切線方程，即可求Q的坐標，利用動點M到P、Q兩點距離之和等于6，可知M的軌跡是焦點在y軸的橢圓，利用待定系數(shù)法可求橢圓方程．
解答：解：（1）圓x²+y²-2y-3=0化為標準方程：x²+（y-1）²=4
∴圓的圓心P（0，1）…（1分），
設拋物線C：x²=2py…（2分），
∵拋物線C以圓心P為焦點，
∴…（3分），
∴p=2
∴所求拋物線的方程為x²=4y…（4分）．
（2）由方程組可得y=1…（5分），
依題意，圓P與拋物線C在第一象限的交點為A，∴A（2，1）…（6分），
拋物線C即函數(shù)的圖象，當x=2時，切線的斜率…（8分），
∴切線為y-1=1×（x-2），即x-y-1=0…（9分），
∴x=0時，y=-1，所以Q（0，-1）…（10分）．
∵動點M到P、Q兩點距離之和等于6
∴M的軌跡是焦點在y軸的橢圓，
設它的方程為…（12分），
則2a=|MP|+|MQ|=6，2c=|PQ|=2…（13分），
∴a=3，b²=a²-c²=8，
∴M的軌跡方程為…（14分）．
點評：本題以圓為載體，考查圓與圓錐曲線的綜合，考查圓錐曲線的定義，解題的根據(jù)是判斷曲線的軌跡，從而正確運用定義．