Question

已知圓P：x²+y²-2y-3=0，拋物線C以圓心P為焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)圓P與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作拋物線C的切線與y軸的交點(diǎn)為Q，動(dòng)點(diǎn)M到P、Q兩點(diǎn)距離之和等于6，求M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓x²+y²-2y-3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程：x²+（y-1）²=4，可得圓的圓心P（0，1），根據(jù)拋物線C以圓心P為焦點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可求拋物線的方程；
（2）聯(lián)立方程，組成方程組

x2+y2-2y-3=0 x2=4y

，根據(jù)圓P與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)為A，可得A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求切線方程，即可求Q的坐標(biāo)，利用動(dòng)點(diǎn)M到P、Q兩點(diǎn)距離之和等于6，可知M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸的橢圓，利用待定系數(shù)法可求橢圓方程．

解答：解：（1）圓x²+y²-2y-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x²+（y-1）²=4
∴圓的圓心P（0，1）…（1分），
設(shè)拋物線C：x²=2py…（2分），
∵拋物線C以圓心P為焦點(diǎn)，
∴

p

2

=1…（3分），
∴p=2
∴所求拋物線的方程為x²=4y…（4分）．
（2）由方程組

x2+y2-2y-3=0 x2=4y

可得y=1…（5分），
依題意，圓P與拋物線C在第一象限的交點(diǎn)為A，∴A（2，1）…（6分），
拋物線C即函數(shù)y=

1

4

x2的圖象，當(dāng)x=2時(shí)，切線的斜率k=y′=

1

2

x=1…（8分），
∴切線為y-1=1×（x-2），即x-y-1=0…（9分），
∴x=0時(shí)，y=-1，所以Q（0，-1）…（10分）．
∵動(dòng)點(diǎn)M到P、Q兩點(diǎn)距離之和等于6
∴M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸的橢圓，
設(shè)它的方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)…（12分），
則2a=|MP|+|MQ|=6，2c=|PQ|=2…（13分），
∴a=3，b²=a²-c²=8，
∴M的軌跡方程為

x2

8

+

y2

9

=1…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題以圓為載體，考查圓與圓錐曲線的綜合，考查圓錐曲線的定義，解題的根據(jù)是判斷曲線的軌跡，從而正確運(yùn)用定義．