在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點M恰好是AC中點,又∠CAD=30°,PA=AB=4,點N在線段PB上,且
(Ⅰ)求證:BD⊥PC;
(Ⅱ)求證:MN∥平面PDC;
(Ⅲ)設(shè)平面PAB∩平面PCD=l,試問直線l是否與直線CD平行,請說明理由.

【答案】分析:(Ⅰ)通過證明BD⊥平面PAC,然后證明BD⊥PC;
(Ⅱ)通過證明線段成比例證明MN∥PD,利用直線 平面平行的判定定理證明MN∥平面PDC;
(Ⅲ)利用反證法證明直線l∥CD,推出CD∥AB與CD與AB不平行矛盾從而說明直線l與直線CD不平行.
解答:解:(I)證明:(I) 因為△ABC是正三角形,M是AC中點,
所以BM⊥AC,即BD⊥AC…(1分)
又因為PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,PA⊥BD…(2分)
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC…(4分)
又PC?平面PAC,所以BD⊥PC…(5分)
(Ⅱ)在正三角形ABC中,BM=…(6分)
在△ACD,因為M為AC中點,DM⊥AC,所以AD=CD
∠CAD=30°,所以,DM=,所以BM:MD=3:1…(8分)
所以BN:NP=BM:MD,所以MN∥PD…(9分)
又MN?平面PDC,PD?平面PDC,所 以MN∥平面PDC…(11分)
(Ⅲ)假設(shè)直線l∥CD,因為l?平面PAB,CD?平面PAB,
所以CD∥平面PAB…(12分)
又CD?平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以CD∥AB…(13分)
這與CD與AB不平行,矛盾
所以直線l與直線CD不平行…(14分)
點評:本題考查在與平面垂直與平行的判定定理的應用,反證法的應用,考查空間想象能力與邏輯推理能力.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC、PB的中點.
(1)求證:PB⊥DM;
(2)求BD與平面ADMN所成角的大。
(3)求二面角B-PC-D的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4.AB=2,AN⊥PC于點N,M是PD中點.
(1)用空間向量證明:AM⊥MC,平面ABM⊥平面PCD.
(2)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值.
(3)求點N到平面ACM的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,O為底面中心,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB.M是PD的中點
(1)求證:直線MO∥平面PAB;
(2)求證:平面PCD⊥平面ABM.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)求證:AD⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PB-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•成都模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且PD⊥平面ABCD,PD=AB=1,EF分別是PB、AD的中點,
(I)證明:EF∥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角B-CE-F的大。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案