數(shù)列滿足

(1)計算,,,由此猜想通項公式,并用數(shù)學歸納法證明此猜想;

(2)若數(shù)列滿足,求證:

 

【答案】

(1)1,, an (n∈N*).

(2)運用數(shù)學歸納法證明來分為兩步驟來加以證明即可。

【解析】

試題分析:解:(1)當n=1時,a1=S1=2-a1,∴a1=1.

當n=2時,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2.                        1分

當n=3時,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3.

當n=4時,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4.              2分

由此猜想an (n∈N*).                                     4分

現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明如下:

①當n=1時, a1=1,結論成立.

②假設n=k(k≥1且k∈N*)時,結論成立,即ak,那么當n=k+1時,

ak1=Sk1-Sk=2(k+1)-ak1-2k+ak=2+ak-ak1,

∴2ak1=2+ak,∴ak1,故當n=k+1時,結論成立,

由①②知猜想an (n∈N*)成立.                                    8分

(2)由(1)知,,.               9分

解法1:當時, 

                10分

.                                12分

解法2:當時,,

                           10分

.              12分

解法3: 當時,                     10分

 

 

.   12分

考點:數(shù)學歸納法證明

點評:主要是考查了數(shù)列的猜想以及數(shù)學歸納法的運用,屬于基礎題。

 

練習冊系列答案
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設數(shù)列滿足:a1=1,an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)(n∈N*)

(1)求a2,a3;
(2)令bn=
1+24an
,求數(shù)列的通項公式.

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(本小題滿分12分)

    數(shù)列滿足:

   (1)求數(shù)列的通項公式

   (2)令求數(shù)列的前n項和

 

 

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    已知整數(shù)數(shù)列滿足:,.

(1) 求數(shù)列的通項公式;

(2) 將數(shù)列中的所有項依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表:

……

依次計算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和,設由這些和按原來行的前后順序構成的數(shù)列為,

的值;

(3) 令 (為大于等于的正整數(shù)),問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列?

若存在,求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項;若不存在,請說明理由.

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