Question

數(shù)列滿足．

（1）計算，，，，由此猜想通項公式，并用數(shù)學歸納法證明此猜想；

（2）若數(shù)列滿足，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）1，，， a_n＝ (n∈N^*)．

（2）運用數(shù)學歸納法證明來分為兩步驟來加以證明即可。

【解析】

試題分析：解：（1）當n＝1時，a₁＝S₁＝2－a₁，∴a₁＝1.

當n＝2時，a₁＋a₂＝S₂＝2×2－a₂，∴a₂＝.                        1分

當n＝3時，a₁＋a₂＋a₃＝S₃＝2×3－a₃，∴a₃＝.

當n＝4時，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝S₄＝2×4－a₄，∴a₄＝.              2分

由此猜想a_n＝ (n∈N^*)．                                     4分

現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明如下：

①當n＝1時， a₁＝＝1，結論成立．

②假設n＝k（k≥1且k∈N^*）時，結論成立，即a_k＝，那么當n＝k＋1時，

a_k＋1＝S_k＋1－S_k＝2(k＋1)－a_k＋1－2k＋a_k＝2＋a_k－a_k＋1，

∴2a_k＋1＝2＋a_k，∴a_k＋1＝＝＝，故當n＝k＋1時，結論成立，

由①②知猜想a_n＝ (n∈N^*)成立．                                    8分

(2)由(1)知，，．               9分

解法1：當時， 

                10分

．                                12分

解法2：當時，，

                           10分

．              12分

解法3： 當時，                     10分

 

 

．   12分

考點：數(shù)學歸納法證明

點評：主要是考查了數(shù)列的猜想以及數(shù)學歸納法的運用，屬于基礎題。