【題目】已知橢圓C1:y2=1的左右頂點(diǎn)是雙曲線C2:的頂點(diǎn),且橢圓C1的上頂點(diǎn)到雙曲線C2的漸近線的距離為.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線與C1相交于M1,M2兩點(diǎn),與C2相交于Q1,Q2兩點(diǎn),且5,求|M1M2|的取值范圍.
【答案】(1)y2=1;(2)|M1M2|∈(0,].
【解析】
(1)由橢圓的頂點(diǎn)可得,求出雙曲線的漸近線方程,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得,進(jìn)而得到雙曲線的方程;
(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立雙曲線方程,消去,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,求得的關(guān)系式,再由直線方程和橢圓的方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式,即可求得的取值范圍.
(1)由橢圓C1:y2=1的左右頂點(diǎn)為(,0),(,0),可得a2=3,
又橢圓C1的上頂點(diǎn)(0,1)到雙曲線C2的漸近線bx﹣ay=0的距離為,
由點(diǎn)到直線的距離公式有可得b=1,
所以雙曲線C2的方程為y2=1;
(2)易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+m,
代入y2=1,消去y并整理得(1﹣3k2)x2﹣6kmx﹣3m2﹣3=0,
要與C2相交于兩點(diǎn),則應(yīng)有①,
設(shè)Q1(x1,y1)、Q2(x2,y2),則有:x1+x2,x1x2.
又x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2,
又5,所以有[(1+k2)(﹣3m2﹣3)+6k2m2+m2(1﹣3k2)]=﹣5
整理得m2=1﹣9k2…②,
將y=kx+m,代入y2=1,消去y并整理得:(1+3k2)x2+6kmx+3m2﹣3=0,
要有兩交點(diǎn),則△=36k2m2﹣4(1+3k2)(3m2﹣3)>03k2+1>m2…③
由①②③有:0<k2.
設(shè)M1(x3,y3)、M2(x4,y4),則有:x3+x4,x3x4.
所以|M1M2|,
又m2=1﹣9k2,代入有:|M1M2||M1M2|
|M1M2|=12,令t=k2,則
令f(t)f′(t),又t∈(0,],
所以f'(t)>0在t∈(0,]內(nèi)恒成立,故函數(shù)f(t)在t∈(0,]內(nèi)單調(diào)遞增,
故f(t)∈(0,],則有|M1M2|∈(0,].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了莖葉圖:則下列結(jié)論中表述不正確的是
A. 第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需要的時間至少80分鐘
B. 第二種生產(chǎn)方式比第一種生產(chǎn)方式的效率更高
C. 這40名工人完成任務(wù)所需時間的中位數(shù)為80
D. 無論哪種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需要的時間都是80分鐘.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所,它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字形地域,計(jì)劃在正方形上建一座花壇,造價為元/;在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪上花崗巖地坪,造價為元/;再在四個空角(圖中四個三角形,如)上鋪草坪,造價為元/
(1)設(shè)總造價為(單位:元),長為(單位:),試求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出定義域;
(2)當(dāng)長取何值時,總造價最小,并求出這個最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙曲線C:1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)為F1,F2(|F1F2|=2c),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,以c為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一個交點(diǎn)為P,若三角形F1PF2的面積為a2,則C的離心率為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的焦距為,短半軸的長為2,過點(diǎn)P(-2,1)且斜率為1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求弦AB的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.首屆中國國際進(jìn)口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬.如圖所示,在陽馬中,底面.
(1)若,斜梁與底面所成角為,求立柱的長(精確到);
(2)證明:四面體為鱉臑;
(3)若,,,為線段上一個動點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤50元;未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示,該同學(xué)為這個開學(xué)季購進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以單位:盒,表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,單位:元表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤
根據(jù)直方圖估計(jì)這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量x的平均數(shù)和眾數(shù);
將y表示為x的函數(shù);
根據(jù)直方圖估計(jì)利潤不少于4800元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A地的天氣預(yù)報(bào)顯示,A地在今后的三天中,每一天有強(qiáng)濃霧的概率為,現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率,先利用計(jì)算器產(chǎn)生之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),并用0,1,2,3,4,5,6表示沒有強(qiáng)濃霧,用7,8,9表示有強(qiáng)濃霧,再以每3個隨機(jī)數(shù)作為一組,代表三天的天氣情況,產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
則這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率近似為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損,可見部分如圖.
1求分?jǐn)?shù)在的頻數(shù)及全班人數(shù);
2求分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù),并計(jì)算頻率分布直方圖中間矩形的高;
3若要從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,求在抽取的試卷中,至少有一份分?jǐn)?shù)在之間的概率.
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