Question

19．如圖，四邊形ABCD是體積為8$\sqrt{3}$π的圓柱OQ的軸截面，點P在底面圓周上，BP=OA=2，G是DP的中點．
（1）求證：AG⊥平面DPB；
（2）求二面角P-AG-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是體積為8$\sqrt{3}$π的圓柱OQ的軸截面，求出AD=2$\sqrt{3}$，推導出AG⊥DP，BP⊥AG，由此能證明AG⊥平面DPB．
（2）由AG⊥平面DPB，知∠PGB是二面角P-AG-B的平面角，由此能求出二面角P-AG-B的正弦值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是體積為8$\sqrt{3}$π的圓柱OQ的軸截面，
∴由題意知$π×{2}^{2}×AD=8\sqrt{3}$，
解得AD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOP中，BP=OA=2，AB=4，
由勾股定理得AP=2$\sqrt{3}$，
∴AD=AP，
又∵G是DP的中點，∴AG⊥DP，①
∵AB為圓O的直徑，∴AP⊥BP，
由已知得DA⊥底面DAP，
∴BP⊥AG，②
∵BP∩DP=P，∴由①②知：AG⊥平面DPB．
解：（2）由（1）知AG⊥平面DPB，
∴AG⊥BG，AG⊥PG，
∴∠PGB是二面角P-AG-B的平面角，
PG=$\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}AP=\sqrt{6}$，
BP=OP=2，∠BPG=90°，
∴BG=$\sqrt{P{G}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
cos$∠PGB=\frac{PG}{BG}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
sin∠PGB=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角P-AG-B的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、空間思維能力、運算求解能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．