Question

7．如圖，正方形ABCD的邊長為2，O為AD的中點，射線OP從OA出發(fā)，繞著點O順時針方向旋轉(zhuǎn)至OD，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記∠AOP為x（x∈[0，π），OP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域（陰影部分）的面積S=f（x），那么對于函數(shù)f（x）有以下三個結論，其中正確的是（　�。�
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
②函數(shù)f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上為減函數(shù)
③任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）+f（π-x）=4．

• A． ①
• B． ③
• C． ①③
• D． ①②

Answer 1

分析 由圖形可得函數(shù)的解析式，再分別判斷，即可得出結論．

解答 解：當0≤x≤arctan2時，f（x）=$\frac{1}{2}$tanx；
當arctan2＜x＜$\frac{π}{2}$，在△OBE中，f（x）=S_矩形OABM-S_△OME
=2-$\frac{1}{2}$EM•OM=2-$\frac{2}{tanx}$；
當x=$\frac{π}{2}$時，f（x）=2；
當$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2時，同理可得f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$．
當π-arctan2＜x≤π時，f（x）=4-$\frac{1}{2}$×1×tan（π-x）=4+$\frac{1}{2}$tanx．于是可得：
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$tan$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，正確；
②當$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2時，由f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$，為增函數(shù)．當π-arctan2＜x≤π時，f（x）=4+$\frac{1}{2}$tanx，為增函數(shù)，因此不正確．
③?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，由圖形及其上面，利用對稱性可得：f（x）+f（π-x）=4，因此正確；
故選C．

點評 本題考查了圖形面積的計算、正切函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．