Question

已知數列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），則a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：把給出的數列遞推式變形，得到兩個等比數列{a_n+a_n-1}與{a_n-3a_n-1}，求出其通項公式聯立方程組求解a_n．

解答： 解：由a_n=2a_n-1+3a_n-2，得a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2）（n≥3），
∵a₁=5，a₂=2，
∴a₁+a₂=7≠0
∴數列{a_n+a_n-1}是以7為首項，以3為公比的等比數列，
∴an+an-1=(a2+a1)•3n-2=7×3n-2①
再由a_n=2a_n-1+3a_n-2，得a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2）（n≥3），
∵a₁=5，a₂=2，
∴a₂-3a₁=2-3×5=-13≠0，
∴數列{a_n-3a_n-1}是以-13為首項，以-1為公比的等比數列，
∴an-3an-1=(a2-3a1)•(-1)n-2=(-1)n-1×13②，
由①②聯立求得an=

1

4

[3n-1×7+(-1)n-1×13]（n≥3）．
驗證a₁=5，a₂=2適合上式，
∴an=

1

4

[3n-1×7+(-1)n-1×13]．
故答案為：

1

4

[3n-1×7+(-1)n-1×13]．

點評：本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，關鍵是考查學生觀察問題和分析問題的能力，是中檔題．