Question

9．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 可設(shè)向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為θ，根據(jù)條件以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式即可得到$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}=8+8cosθ$，進(jìn)而得到$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{8+8cosθ}$，從而便可進(jìn)行數(shù)量積的計(jì)算求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）=\sqrt{8+8cosθ}=4+4cosθ$，這樣便可解出cosθ，而由題意可判斷0＜θ＜π，這樣即可求出θ的值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，根據(jù)條件：
$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$
=4+8cosθ+4
=8+8cosθ；
∴$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{8+8cosθ}$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|cos\frac{π}{3}$
=$\sqrt{8+8cosθ}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=4+4cosθ；
即$\sqrt{8+8cosθ}=4+4cosθ$，兩邊平方并整理得：
2cos²θ+3cosθ+1=0；
解得$cosθ=-\frac{1}{2}$，或-1；
又根據(jù)題意，0＜θ＜π；
∴$θ=\frac{2π}{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量夾角的概念，向量加法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，無理方程及一元二次方程的解法，向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角．