Question

9．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 可設向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為θ，根據條件以及向量數量積的運算及計算公式即可得到$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}=8+8cosθ$，進而得到$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{8+8cosθ}$，從而便可進行數量積的計算求出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）=\sqrt{8+8cosθ}=4+4cosθ$，這樣便可解出cosθ，而由題意可判斷0＜θ＜π，這樣即可求出θ的值．

解答 解：設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，根據條件：
$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$
=4+8cosθ+4
=8+8cosθ；
∴$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|=\sqrt{8+8cosθ}$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|cos\frac{π}{3}$
=$\sqrt{8+8cosθ}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=4+4cosθ；
即$\sqrt{8+8cosθ}=4+4cosθ$，兩邊平方并整理得：
2cos²θ+3cosθ+1=0；
解得$cosθ=-\frac{1}{2}$，或-1；
又根據題意，0＜θ＜π；
∴$θ=\frac{2π}{3}$．
故選D．

點評 考查向量夾角的概念，向量加法和數乘的幾何意義，以及向量數量積的運算及計算公式，無理方程及一元二次方程的解法，向量夾角的范圍，已知三角函數值求角．