Question

(本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M-BQ-C為30°，設PM=tMC，

試確定t的值

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．  ∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°

 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD， 

∴BQ⊥平面PAD．  ∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．                          ……………………7分

另證：AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，  ∴ 四邊形BCDQ為平行四邊形，

∴CD // BQ ．∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°．  ∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD． 

 

∵ PQ∩BQ=Q，  ∴AD⊥平面PBQ．  ∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．……7分

（2）∵PA=PD，Q為AD的中點，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則平面BQC的法向量為；

，，，．

設，則，

，∵，

∴ ，∴            ……………………12分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量為．       

∵二面角M-BQ-C為30°，  ，

∴ ．                                        ……………………14分

注：此小題若用幾何法做也相應給分。

 

【解析】略