Question

已知向量=（，），=（cosx，sinx），x∈（0，）．
（1）若∥，求sinx和cos2x的值；
（2）若=2cos（+x）（k∈Z），求tan（x+）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示列出關(guān)系式，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos²x的值，由x的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinx的值，同時(shí)再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，將cos²x的值代入即可求出cos2x的值；
（2）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，代入已知的等式的左邊，等式右邊變形后利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tan（x+）的值，把所求式子中的角度x+變形為（x+）+后，再利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將求出的tan（x+）的值代入即可求出值．
解答：解：（1）∵∥，向量=（，），=（cosx，sinx），
∴sinx=cosx，即sinx=cosx，
又∵sin²x+cos²x=1，
∴cos²x=，又∵x∈（0，），
∴sinx===，
cos2x=2cos²x-1=-1=-；
（2）∵•=cosx+sinx=cossinx+sincosx=sin（x+），
而2cos（x+）=2cos（2kπ+x++2π）=2cos（x+）（k∈Z），
于是sin（x+）=2cos（x+），即tan（x+）=2，
∴tan（x+）=tan[（x+）+]
=
=
=-3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正切、正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．