Question

3．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別為棱A₁A，C₁C的中點(diǎn)，AC⊥BE，點(diǎn)F在棱AB上，且AB=4AF．
（1）求證：BC⊥C₁D；
（2）試在線段BE上確定一點(diǎn)M，使得C₁D∥平面BFM，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出C₁C⊥平面ABC，從而C₁C⊥AC，C₁C⊥BC，推導(dǎo)出AC⊥平面BCC₁B₁，從而AC⊥BC，進(jìn)而BC⊥平面ACC₁A₁，由此能證明BC⊥C₁D．
（2）當(dāng)BE=4ME時(shí)，連結(jié)AE，F(xiàn)M，則AE∥MF，從而AE∥C₁D，進(jìn)而MF∥C₁D，由此能證明C₁D∥平面BFM．

解答 證明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，
又AC、BC?平面ABC，
∴C₁C⊥AC，C₁C⊥BC，
又AC⊥BE，BE∩C₁C=E，BE、C₁C?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，又BC?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC，而AC∩C₁C=C，AC、C₁C?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又C₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D．
解：（2）當(dāng)BE=4ME時(shí)，C₁D∥平面BFM．
證明如下：
連結(jié)AE，F(xiàn)M，在△ABE中，由AB=4AF，BE=4ME，
得AE∥MF，又在平面ACC₁A₁中，AE∥C₁D，
∴MF∥C₁D，又C₁D?平面BFM，MF?平面BFM，
∴C₁D∥平面BFM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)的確定與證明，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．