Question

如圖，已知拋物線y²=4x的焦點為F，過點P（2，0）且斜率為k₁的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，直線AF、BF分別與拋物線交于點M、N．
（Ⅰ）證明

OA

•

OB

的值與k₁無關(guān)；
（Ⅱ）記直線MN的斜率為k₂，證明

k1

k2

為定值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）依題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+2，與拋物線方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理即可求得y₁y₂，進而求出x₁x₂，根據(jù)向量數(shù)量積運算公式，可得

OA

•

OB

的值與k₁無關(guān)；
（Ⅱ）設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），設(shè)直線AM的方程為x=ny+1，將其代入y²=4x，消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，從而得y₁y₃=-4，同理可得 y₂y₄=-4，根據(jù)斜率公式可把

k1

k2

表示成關(guān)于y₁與y₂的表達式，再借助（Ⅰ）的結(jié)果即可證明．

解答： 證明：（Ⅰ）依題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+2（m≠0）． …（1分）
將其代入y²=4x，消去x，整理得 y²-4my-8=0．…（2分）
從而y₁y₂=-8，
于是x1x2=

y 2 1

4

•

y 2 2

4

=

64

16

=4，…（3分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=4-8=-4與k₁無關(guān)．  …（5分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．
則 

k1

k2

=

y1-y2

x1-x2

×

x3-x4

y3-y4

=

y1-y2

y12 4 - y22 4

×

y32 4 - y42 4

y3-y4

=

y3+y4

y1+y2

．…（8分）
設(shè)直線AM的方程為x=ny+1（n≠0），將其代入y²=4x，消去x，
整理得 y²-4ny-4=0
∴y₁y₃=-4．
 同理可得 y₂y₄=-4．                …（10分）
故

k1

k2

=

y3+y4

y1+y2

=

-4 y1 + -4 y2

y1+y2

=

-4

y1y2

，…（11分）
由（Ⅰ）知，y₁y₂=-8，
∴

k1

k2

=

1

2

為定值．         …（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及拋物線的簡單性質(zhì)，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，難度較大．