Question

9．在△ABC 中，點D在直線AC上，且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，點E在直線BD上，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DE}$，若$\overrightarrow{AE}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+λ₂$\overrightarrow{AC}$，則λ₁+λ₂=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{7}{9}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形法則表示出$\overrightarrow{AE}$與$\overrightarrow{BE}$，將$\overrightarrow{BE}$代入表示出$\overrightarrow{AE}$，確定出λ₁與λ₂的值，即可求出所求式子的值．

解答 解：由三角形法則得：$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{BE}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{3}{2}$[-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）]=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴λ₁+λ₂=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點評 此題考查了平面向量的基本定理及其意義，熟練掌握平面向量的數(shù)量積運算法則是解本題的關鍵．