Question

8．已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F₁（-2，0），點B（2，$\sqrt{2}$）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于P，Q兩點，直線AP，AQ分別與y軸交于點M，N
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）以MN為直徑的圓是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可設橢圓標準方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），結合已知及隱含條件列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經過定點（±2，0）．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），由橢圓的左焦點F₁（-2，0），
則c=2，a²-b²=4，
由B（2，$\sqrt{2}$），代入橢圓方程：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1$，
解得a²=8，b²=4，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）由題意可知：A（-2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），
則$\frac{{x}_{0}^{2}}{8}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，AF所在直線方程$\frac{y}{{y}_{0}}$=$\frac{x+2\sqrt{2}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，取x=0，得y=$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，
∴N（0，$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$），同理求得，M（0，$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$）．
則以MN為直徑的圓的圓心坐標為（0，$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{x}_{0}^{2}}$），
半徑r=$\frac{8{y}_{0}}{8-{x}_{0}^{2}}$，
圓的方程為x²+（y-$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{x}_{0}^{2}}$）²=$\frac{64{y}_{0}^{2}}{（8-{x}_{0}^{2}）^{2}}$=$\frac{16}{{y}_{0}^{2}}$，
即x²+（y+$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{y}_{0}}$）²=$\frac{16}{{y}_{0}^{2}}$，取y=0，得x=±2．
∴以MN為直徑的圓經過定點（±2，0）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與圓位置關系的應用，考查整體運算思想方法，是中檔題．