Question

5．如圖，在四面體P-ABC中，PA=PB=PC=4，點O是點P在平面ABC上的投影，且tan∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則四面體P-ABC的外接球的體積為8$\sqrt{6}π$．

Answer 1

分析 由已知得tan∠APO=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而AO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PO=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，AB=AC=BC=2$\sqrt{2}$，設(shè)M為四面體P-ABC的外接球的球心，則R²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{4\sqrt{6}}{3}-R$）²，從而求出R=$\sqrt{6}$，由此能求出四面體P-ABC的外接球的體積．

解答 解：∵在四面體P-ABC中，PA=PB=PC=4，點O是點P在平面ABC上的投影，且tan∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠APO=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，設(shè)AO=$\sqrt{2}$k，則PO=2k，k＞0．
∴PO²+AO²=6k²=16，∴k=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，AO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PO=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴AB=AC=BC=2$\sqrt{2}$，
如圖，設(shè)M為四面體P-ABC的外接球的球心，
則AM=PM=R，OM=$\frac{4\sqrt{6}}{3}-$R，
∴R²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+（$\frac{4\sqrt{6}}{3}-R$）²，
解得R=$\sqrt{6}$，
∴四面體P-ABC的外接球的體積為V=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{6}）^{3}$=8$\sqrt{6}$π．
故答案為：8$\sqrt{6}$π．

點評 本題考查四面體的外接球的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．