Question

已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點(diǎn)M，且，圓O的方程為x²+y²=b²．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上的點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為d₁，d₂，求d₁•d₂的值；
（3）過圓O上任意一點(diǎn)P（x，y）作切線l交雙曲線C于A，B兩個不同點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)F₂，M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)M在雙曲線C上，∠MF₁F₂=30°，可得，利用雙曲線的定義，可得雙曲線C的方程；
（2）先確定兩條漸近線方程，設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)Q（x，y），求出點(diǎn)Q到兩條漸近線的距離，結(jié)合Q（x，y）在雙曲線C上，即可求d₁•d₂的值；
（3）解一：利用圓的參數(shù)方程設(shè)P的坐標(biāo)，求出切線l的方程代入雙曲線，兩邊除以x²，再利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論；
解二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：xx+yy=2代入雙曲線C中，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，可得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)F₂，M的坐標(biāo)分別為-------------------（1分）
因為點(diǎn)M在雙曲線C上，所以，即，所以------------（2分）
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，，所以------------（3分）
由雙曲線的定義可知：
故雙曲線C的方程為：-------------------（4分）
（2）由條件可知：兩條漸近線分別為-------------------（5分）
設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)Q（x，y），
則點(diǎn)Q到兩條漸近線的距離分別為-------------------（7分）
所以-------------------（8分）
因為Q（x，y）在雙曲線C：上，所以-------------------（9分）
故-------------------（10分）
（3）解一：因為P（x，y）為圓O：x²+y²=2上任意一點(diǎn)，設(shè)
所以切線l的方程為：-------------------（12分）
代入雙曲線C：2x²-y²=2=（xcosα+ysinα）²
兩邊除以x²，得-------------------（13分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則是上述方程的兩個根
由韋達(dá)定理知：，即x₁x₂+y₁y₂=0-------------------（15分）
所以-------------------（16分）
解二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：xx+yy=2-------------------（12分）
①當(dāng)y≠0時，切線l的方程代入雙曲線C中，化簡得：
所以：-------------------（13分）
又
所以-----------（15分）
②當(dāng)y=0時，易知上述結(jié)論也成立．
所以-------------------（16分）
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查圓的切線方程，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識，屬于中檔題．