Question

設(shè)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab的圖象與x軸的兩個交點為（-3，0），（2，0）
（1）求f（x）；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別是-3和2，可知-3和2為方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根，利用韋達(dá)定理，列出方程組，求解即可得到f（x）；
（2）根據(jù)（1）所得的解析式，求出二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)定義域在對稱軸的右邊為減區(qū)間，即可判斷出f（x）的最值，從而求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別是-3和2，
∴-3和2為方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根，
∴

-3+2= 8-b a -3×2= -a-ab a

，解得

a=-3 b=5

，
∴f（x）=-3x²-3x+18；
（2）由（1）知，f（x）=-3x²-3x+18，
∵函數(shù)f（x）的定義域是[0，2]，
∴x∈[0，2]，
f（x）=-3x²-3x+18=-3（x+

1

2

）²+

75

4

，對稱軸x=-

1

2

，
則區(qū)間[0，2]在對稱軸的右邊，為減區(qū)間，
∴當(dāng)x=2時，f（x）取得最小值0，
當(dāng)x=0時，f（x）取得最大值18，
∴函數(shù)f（x）的值域為[0，18]．

點評：本題考查了求函數(shù)的解析式，求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等，考查了函數(shù)的零點問題，函數(shù)的零點等價于對應(yīng)方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．同時考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．屬于中檔題．