Question

（本小題滿分14分）

    已知數(shù)列{a_n}，且x＝是函數(shù)f(x)＝a_n－1x³－3[(t＋1)a_n－a_n＋1] x＋1(n≥2)的一個(gè)極值點(diǎn)．?dāng)?shù)列{a_n}中a₁＝t，a₂＝t²(t＞0且t≠1) ．

（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（2）記b_n＝2(1－)，當(dāng)t＝2時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2010的n的最小值；

（3）若c_n＝，證明：( n∈N^﹡)．

Answer 1

解：（1）f ′(x)＝3a_n－1x²－3[(t＋1)a_n－a_n＋1]，

所以f ′()＝3a_n－1t－3[(t＋1)a_n－a_n＋1]＝0．

整理得：a_n＋1－a_n＝t(a_n－a_n－1) ．…………………………………………2分

當(dāng) t＝1時(shí)，{a_n－a_n－1}是常數(shù)列，得；

當(dāng) t≠1時(shí){a_n－a_n－1}是以 a₂－a₁＝t²－t為首項(xiàng)， t為公比的等比數(shù)列，

所以 a_n－a_n－1＝(t²－t)·t ^n－2＝(t－1)·t ^n－1．

方法一：由上式得

(a_n－a_n－1)＋(a_n－1－a_n－2)＋…＋(a₂－a₁)＝(t－1)(t^n－1＋t^n－2＋…＋t)，

即 a_n－a₁＝(t－1)·＝tⁿ－t，

所以 a_n＝tⁿ(n≥2) ．

          又，當(dāng)t＝1時(shí)上式仍然成立，故 a_n＝tⁿ(n∈N^﹡) ．………………………4分

          方法二：由上式得： a_n－tⁿ＝a_n－1－t^n－1，

所以{a_n－tⁿ}是常數(shù)列，a_n－tⁿ＝a₁－t＝0 a_n＝tⁿ(n≥2) ．

又，當(dāng)t＝1時(shí)上式仍然成立，故 a_n＝tⁿ(n∈N^﹡) ．

（2）當(dāng)t＝2， b_n＝＝2－．

∴S_n＝2n－(1＋＋＋…＋)＝2n－

＝2n－2(1－)＝2n－2＋2·

由S_n＞2010，得

2n－2＋2()ⁿ＞2010， n＋()ⁿ＞1006，

當(dāng)n≤1005時(shí)， n＋()ⁿ＜1006，

當(dāng) n≥1006時(shí)， n＋()ⁿ＞1006，

因此 n的最小值為1006．………………………………………………8分

（3）c_n＝且c₁＝，所以

．

因?yàn)?sub>＝＝

＝≥，

所以＝．

              從而原命題得證．…………………………………………………………14分