Question

設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間（-1，1]上，f（x）=

2x+1，-1＜x＜0 ax+2 x+1 ，0≤x≤1

．其中常數(shù)a∈R，且f（

1

2

）=f（

3

2

）．
（1）求a的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x），x∈[-2，-1]∪[1，2]．
①求證：g（x）是偶函數(shù)；
②求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出f（

1

2

）=

a+4

3

，f（

1

2

）=f（

3

2

）=

a+4

3

=0，由此能求出a=-4．
（2）由g（-x）=f（-x）+f（-（-x））=f（-x）+f（x）=g（x），能證明g（x）是偶函數(shù)．
②由函數(shù)g（x）的值域與函數(shù)g（x）在[1.2]上的值域相等，求出g（1）=-2，g（2）=4，從而得到g（x）=2x-

6

x-3

-7，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）在（1，2）內(nèi)是增函數(shù)，由此能求出函數(shù)g（x）的值域．

解答： （1）解：f（

1

2

）=

a 2 +2

1 2 +1

=

a+4

3

，…（1分）
由函數(shù)f（x）的周期為2，
得f（

3

2

）=f（

3

2

-2）=f(-

1

2

)=2（-

1

2

）+1=0，…（3分）
∵f（

1

2

）=f（

3

2

），∴

a+4

3

=0，解得a=-4．…（4分）
（2）①證明：∵對?x∈[-2，-1]∪[1，2]，有-x∈[-2，-1]∪[1，2]，
且g（-x）=f（-x）+f（-（-x））=f（-x）+f（x）=g（x），
∴g（x）是偶函數(shù)．…（6分）
②解：由①知函數(shù)g（x）的值域與函數(shù)g（x）在[1.2]上的值域相等，
g（1）=f（1）+f（-1）=f（1）+f（-1+2）=2f（1）=-2，
g（2）=f（2）+f（-2）=2f（0）=4，…（8分）
當(dāng)1＜x＜2時，-2＜-x＜-1，g（x）=f（x）+f（-x）=f（x-2）+（-x+2），
g（x）=2（x-2）+1+

-4(2-x)+2

(2-x)+1

=2x-

6

x-3

-7，…（10分）
g′(x)=2+

6

(x-3)2

＞0，g（x）在（1，2）內(nèi)是增函數(shù)，…（11分）
得2-

6

1-3

-7＜g（x）＜2×2-

6

2-3

-7，即-2＜g（x）＜3，…（13分）
綜上知，函數(shù)g（x）的值域為[-2，3）∪{4}．…（14分）

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查偶函數(shù)的證明，考查函數(shù)的值域的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．