Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}，0≤x＜2}\\{f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$，若對于正數(shù)k_n （n∈N^*），關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）-k_nx 的零點個數(shù)恰好為2n+1個，則k₁²+k₂²+…+k_n²=（　�。�

• A． $\frac{1}{8n}$
• B． $\frac{n}{n+1}$
• C． $\frac{n}{4n+4}$
• D． $\frac{n}{4n+1}$

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=f（x）-k_nx 的零點個數(shù)可化為函數(shù)f（x）與y=k_nx的圖象的交點的個數(shù)；作函數(shù)f（x）與y=k_nx的圖象，結(jié)合圖象可得y=k_nx的圖象與y=$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$的圖象相切，從而可得$\frac{1}{2}$$\frac{-2（x-2n-1）}{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}$=$\frac{1}{x}$$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$，從而解得k_n=$\frac{1}{x}$$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{n（n+1）}}$，從而可得k_n²=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），從而利用裂項求和法解得．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-k_nx 的零點個數(shù)可化為
函數(shù)f（x）與y=k_nx的圖象的交點的個數(shù)；
作函數(shù)f（x）與y=k_nx的圖象如下，
，
∵關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）-k_nx 的零點個數(shù)恰好為2n+1個，
∴y=k_nx的圖象與y=$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$的圖象相切，
∴$\frac{1}{2}$$\frac{-2（x-2n-1）}{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}$=$\frac{1}{x}$$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$，
∴x=$\frac{4n（n+1）}{2n+1}$，
∴k_n=$\frac{1}{x}$$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$
=$\frac{2n+1}{4n（n+1）}$$\sqrt{1-（\frac{4n（n+1）}{2n+1}-2n-1）^{2}}$
=$\frac{1}{2\sqrt{n（n+1）}}$，
∴k_n²=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴k₁²+k₂²+…+k_n²
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$，
故選C．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應用，同時考查了數(shù)列的性質(zhì)與應用及裂項求和法的應用．