Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：${S_n}={n^2}+2n，n∈{N^*}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：${T_n}＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)數(shù)列的遞推公式即可求出通項(xiàng)公式，
（2）通過(guò)裂項(xiàng)求和和放縮法即可證明．

解答 解：（1）第一類(lèi)解法：
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
而a₁=3也滿足a_n=2n+1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1
第二類(lèi)解法：a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1
第三類(lèi)解法：a₁=S₁=3； a₂=S₂-S₁；a_n=2n+1
第四類(lèi)解法：
由S_n=n²+2n可知{a_n}等差數(shù)列
且a₁=3，d=a₂-a₁=S₂-S₁-3=2
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1；
（2）證明：∵a_n=2n+1，
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
則${T_n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$$＜\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，裂項(xiàng)、并項(xiàng)求和是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．