Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)）滿足條件；
①圖象經(jīng)過原點(diǎn)；②f（1-x）=f（1+x）；③方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式
（2）若函數(shù)g（x）=|f（x）|-m有四個零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，依次確定c，a，b；從而求f（x）的解析式；
（2）函數(shù)g（x）=|f（x）|-m有四個零點(diǎn)可化為|f（x）|與y=m有四個不同的交點(diǎn)，作圖求解．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)知f（0）=0，
∴c=0；
又f（1-x）=f（1+x）；
∴a（1+x）²+b（1+x）=a（1-x）²+b（1-x）；
整理得（2a+b）x-（2a+b）=0，
∴2a+b=0，
即a=-

b

2

；
又∵方程f（x）=x有等根，
即ax²+（b-1）x=0，
故△=0，故b=1，a=-

1

2

；
故f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）函數(shù)g（x）=|f（x）|-m有四個零點(diǎn)可化為
|f（x）|與y=m有四個不同的交點(diǎn)，
作y=|f（x）|與y=m的圖象如下，

故0＜m＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．