Question

20．已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足：當x∈（-1，1]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x}{x+1}，-1＜x≤0}\\{{2}^{2-x}-2，0＜x≤1}\end{array}\right.$且f（x+2）=f（x）對任意的x∈R恒成立．若函數(shù)g（x）=f（x）-m（x+1）在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個零點，則實數(shù)m的取值范圍是[$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=f（x）-m（x+1）在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個零點，則y=f（x）與y=m（x+1）的圖象在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個交點．畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）對?x∈R恒成立，
∴函數(shù)f（x）的周期為2．
又∵當x∈（-1，1]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x}{x+1}，-1＜x≤0}\\{{2}^{2-x}-2，0＜x≤1}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示
令函數(shù)g（x）=f（x）-m（x+1）=0，
則f（x）=m（x+1），
若函數(shù)g（x）=f（x）-m（x+1）在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個零點，
則y=f（x）與y=m（x+1）的圖象在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個交點．
∵y=m（x+1）恒過點（-1，0），
過（-1，0），（4，2）點的直線斜率為$\frac{2}{5}$，
過（-1，0），（2，2）點的直線斜率為$\frac{2}{3}$，
根據(jù)圖象可得：m∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$），
故答案為：[$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．