Question

如圖，在空間中的直角三角形ABC與直角梯形EFGD中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AC∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求證：四點(diǎn)B、C、F、G共面；
（Ⅱ）求平面ADGC與平面BCGF所組成的二面角余弦值；
（Ⅲ） 求多面體ABC-DEFG的體積．

Answer 1

分析：解法一（I）由AD⊥面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，要證明的四點(diǎn)共面中的兩條線平行，根據(jù)共面的判定得到結(jié)論．
（II）要求兩個(gè)平面的夾角，只要寫(xiě)出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量所成的角來(lái)解題，本題所給的兩個(gè)平面，有一個(gè)法向量可以直接由題意得到，而另一個(gè)需要根據(jù)向量垂直做出結(jié)果．
（III）設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM，則V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}，把一個(gè)不規(guī)則幾何體的體積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三棱柱的體積之和，做出三棱柱的體積相加即可．
解法二（I）設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM，則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等，即AC∥MG，且AC=MG，即四邊形ACGM是平行四邊形，得到結(jié)論．
（II）根據(jù)做兩個(gè)平面所成的角的方法，先做出角，在證明角，最后求出角，這樣根據(jù)在平面ADGC中，過(guò)M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則∠MNF是所求二面角的平面角，后面求出角的大小即可．
（III）連接AM、FM，則V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}，把一個(gè)不規(guī)則幾何體的體積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三棱柱的體積之和，做出三棱柱的體積相加即可．

解答：解法一   向量法
由 AD⊥面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標(biāo)系，則A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F(xiàn)（2，1，0）
（1）

BF

=(2，1，0)-(2，0，2)=(0，1，-2)

CG

=(0，2，0)-(0，1，2)=(0，1，-2)
∴

BF

=

CG

，即四邊形BCGF是平行四邊形．
故四點(diǎn)B、C、F、G共面．…（4分）

（2）

FG

=(0，2，0)-(2，1，0)=(-2，1，0)，
設(shè)平面BCGF的法向量為

n1

=(x，y，z)，
則

n1 • CG =y-2z=0 n1 • FG =-2x+y=0

，
令y=2，則

n1

=(1，2，1)，
而平面ADGC的法向量

n2

=(1，0，0)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1×1

12+22+12 × 12+02+02

=

6

6

故面ADGC與面BCGF所組成的二面角余弦值為

6

6

．…（8分）
（3）設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM，則V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}
=DE×S_△ADM+AD×S_△MFG=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．…（12分）
解法二    （1）設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM，則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，所以MF∥DE，且MF=DE
又∵AB∥DE，且AB=DE∴MF∥AB，且MF=AB
∴四邊形ABMF是平行四邊形，即BF∥AM，且BF=AM
又∵M(jìn)為DG的中點(diǎn)，DG=2，AC=1，面ABC∥面DEFG
∴AC∥MG，且AC=MG，即四邊形ACGM是平行四邊形
∴GC∥AM，且GC=AM
故GC∥BF，且GC=BF，
即四點(diǎn)B、C、F、G共面…（4分）

（2）∵四邊形EFGD是直角梯形，AD⊥面DEFG
∴DE⊥DG，DE⊥AD，即DE⊥面ADGC，
∵M(jìn)F∥DE，且MF=DE，∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，過(guò)M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則
顯然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四邊形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM=MG=1
∴CD=CG=

5

，∴cos∠DGC=

GC2+GD2-CD2

2×GC×GD

=

5+4-5

2× 5 ×2

=

5

5

∴sin∠DGC=

2 5

5

，∴MN=MG•sin∠DGC=

2 5

5

在直角三角形MNF中，MF=2，MN=

2 5

5

∴tan∠MNF=

MF

MN

=

2

2 5 5

=

5

，cos∠MNF=

6

6

故面ADGC與面BCGF所組成的二面角余弦值為

6

6

…（8分）

（3）V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}=DE×S_△ADM+AD×S_△MFG
=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以不規(guī)則幾何體為載體，考查空間線面關(guān)系的判斷與證明，空間幾何量的計(jì)算，準(zhǔn)確把握立體幾何的最新發(fā)展趨勢(shì)：由正方體、正四棱柱等規(guī)則幾何體的考查向不規(guī)則幾何體過(guò)渡，但仍堅(jiān)持向量法與公理化法的“雙軌”處理模式，在復(fù)習(xí)備考時(shí)應(yīng)引起高度注意．