Question

已知，，
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間
（2）若在上是遞減的，求實數(shù)的取值范圍； 
（3）是否存在實數(shù)，使的極大值為3？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）；（3）不存在實數(shù)，使的極大值為3．

試題分析：（1）先由得到h(x)的具體解析表達(dá)式，求出其導(dǎo)函數(shù)，通過解不等式得到其增區(qū)間，解不等式得到其減區(qū)間；
（2）在上是遞減的等價于在上恒成立，從而通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立，從而獲得實數(shù)的取值范圍；
（3）先利用導(dǎo)數(shù)方法將的極大值用a的代數(shù)式表達(dá)出來，得到的極大值在處取到，即，令其等于3顯然不好判斷是否有解，我們可以再利用導(dǎo)數(shù)的方法判斷出在上單調(diào)遞增，從而可知所求實數(shù)a不存在．
試題解析：(1) 當(dāng)時，，則
令，解得；令，解得或
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
（2）由在上是遞減的，得在上恒成立，
即在上恒成立，解得，又因為，
所以實數(shù)的取值范圍為 
（3），令，解得或

由表可知，的極大值在處取到，即，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增
，所以不存在實數(shù)，使的極大值為3