Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長(zhǎng)均相等，E，F(xiàn)分別是棱A₁B₁，A₁C₁的中點(diǎn)，截面EBCF將三棱柱截成幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ兩個(gè)幾何體．
①求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的表面積之比；
②求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的體積之比．

Answer 1

分析：（1）易知幾何體Ⅰ是一個(gè)三棱臺(tái)，側(cè)面積等于5個(gè)側(cè)面面積的和，幾何體Ⅱ也有5個(gè)面，側(cè)面積等于5個(gè)側(cè)面面積的和，將這兩個(gè)幾何體的表面積相除，可得結(jié)果．
（2） 幾何體Ⅰ是一個(gè)三棱臺(tái)，其體積由面積公式可求得；幾何體Ⅱ的體積用整個(gè)三棱柱的體積減去幾何體Ⅰ的體積可得，計(jì)算這兩個(gè)幾何體的體積之比．

解答：解：（1）設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長(zhǎng)均為1，由三角形的中位線的性質(zhì)得A₁EF的面積
為

1

4

×（

1

2

×1×1×

3

2

）=

3

16

，BE=

1+ 1 4

=

5

2

，
幾何體Ⅰ的全面積為

3

16

+2×（

1+ 1 2

2

×1）+

1

2

×1×1×

3

2

+

(1+ 1 2 ) 5 4 - 1 16

2

=

5 3 +24+3 19

16

．
幾何體Ⅱ的表面積為 1×1+2×（

1

2

×

1

2

×1）+

3

4

（

1

2

×1×1×

3

2

）+

(1+ 1 2 ) 5 4 - 1 16

2

=

24+3 3 +3 19

16

，
 故求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的表面積之比為：

5 3 +24+3 19

3 3 +24+3 19

．
（2） 幾何體Ⅰ是一個(gè)三棱臺(tái)，其體積為

1

3

×（

3

16

+

3 16 × 3 4

+

3

4

）×1=

7 3

48

，
幾何體Ⅱ的體積為

3

4

×1-

7 3

48

=

5 3

48

，
故幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的體積之比為：

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱臺(tái)的表面積、體積的計(jì)算方法，以及用間接方法求出不規(guī)則幾何體的體積．