Question

1．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的長；
（2）求sin2C的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用余弦定理求解即可．
（2）利用正弦定理求出C的正弦函數值，然后利用二倍角公式求解即可．

解答 解：（1）由余弦定理可得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA=4+9-2×2×3×$\frac{1}{2}$=7，
所以BC=$\sqrt{7}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，則sinC=$\frac{AB}{BC}•sinA$=$\frac{2sin60°}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵AB＜BC，∴C為銳角，
則cosC=$\sqrt{1-{sin}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{3}{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
因此sin2C=2sinCcosC=2×$\frac{\sqrt{21}}{7}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查余弦定理的應用，正弦定理的應用，二倍角的三角函數，注意角的范圍的解題的關鍵．