如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E為AB的中點,F(xiàn)為CC1的中點.
(1)證明:BF∥平面ECD1;
(2)求二面角D1-EC-D的余弦值.
考點:二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)取CD1中點G,連結(jié)FG,由已知推導(dǎo)出四邊形FGEB為平行四邊形,由此能證明BF∥平面ECD1
(2)連結(jié)DE,E為AB的中點,DE⊥EC,DD1⊥EC,由已知得∠DED1為二面角D1-EC-D的平面角,由此能求出二面角D1-EC-D的余弦值.
解答: (1)證明:取CD1中點G,連結(jié)FG.
∵F為CC1的中點D1,∴FG=
1
2
C1D1
且FG∥C1D1,
∵AB=C1D1且AB∥C1D1,∴FG=
1
2
AB=BE
且FG∥BE,
∴四邊形FGEB為平行四邊形∴BF∥GE,…(4分)
∵GE?平面ECD1,BF?平面ECD1
∴BF∥平面ECD1.…(7分)
(2)解:連結(jié)DE,
∵AD=AA1=1,AB=2,E為AB的中點,∴DE⊥EC,…(9分)
∵DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥EC,
又DD1∩DE=D,DD1?平面EDD1,
DE?平面EDD1∴CE⊥平面EDD1,∴CE⊥ED1,…(11分)
∴∠DED1為二面角D1-EC-D的平面角.…(12分)
Rt△ADE中DE=
2
,
∴Rt△D1DE中,D1E=
3

cos∠DED1=
DE
D1E
=
6
3
.…(14分)
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-2x+1,求f[f(x)].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

寫出所有同時滿足以下兩個條件的非空集合M.
①M⊆{1,2,3,4,5};  
②若a∈M,則6-a∈M.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1處的切線斜率為2,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x=
1
3
對稱.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)的圖象與g(x)=x2的圖象有且僅有三個公共點,求c的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|x2-x≤0,x∈R},設(shè)函數(shù)f(x)=2x2-2x+3,x∈A的值域為B,求集合B.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1、F2是橢圓
x2
9
+
y2
4
=1的兩個焦點,點P在橢圓上,若△PF1F2是直角三角形,求點P的坐標.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知實數(shù)x,y滿足x=3sinα,y=3cosα,則x,y之間的關(guān)系是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)y=f(x)的定義域[0,3],則函數(shù)g(x)=
f(3x)
x-1
的定義域是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(2x)=6x-1,則f(x)=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案