Question

已知雙曲線C：-=1 （a＞0，b＞0）的離心率為，虛軸長為2．
（1）求雙曲線C的方程； （2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點在圓 x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由=，b=，知a=1，由此能求出雙曲線方程．
（2）由，得 x²-2mx-m²-2=0，故x₁+x₂=2m，所以AB中點（m，2m），代入圓方程能求出m的值．
解答：解：（1）∵e==，
∴c=a，
∵2b=，
∴b=，
∵c²-a²=2，
∴a=1，
∴所求雙曲線方程為 x²-=1；
（2）由，
消y得 x²-2mx-m²-2=0，
△=4m²+4（m²+2）=8（m²+1）＞0，
x₁+x₂=2m，
∴AB中點（m，2m），
代入圓方程得m²+4m²=5，
∴m=±1．
點評：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．