Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx在點x處取得極大值5，其導函數y=f′（x）的圖象經過點（1，0），（2，0），如圖所示，求：
（Ⅰ）x的值；
（Ⅱ）a，b，c的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察圖象滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極大值，求出x的值；
（2）根據圖象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三個方程，聯立方程組求解即可．
解答：解：（Ⅰ）由圖象可知，在（-∝，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．
在（2，+∝）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∝，1），（2，+∝）上遞增，在（1，2）上遞減．
因此f（x）在x=1處取得極大值，所以x=1．
（Ⅱ）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，
得
解得a=2，b=-9，c=12．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及觀察圖形的能力，屬于基礎題．