如圖,PDCE為矩形,ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=。
(I)若M為PA中點(diǎn),求證:AC∥平面MDE;
(II)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;
(III)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q(除去端點(diǎn)),使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為?
(I)詳見試題解析;(II);(III)存在.
解析試題分析:(I)在矩形中,連結(jié)交于,則點(diǎn)為的中點(diǎn).只要證即可;
(II)以為原點(diǎn),所在的直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)直線與平面所成角為,先求平面的法向量,再利用求值;(III)假設(shè)存在滿足已知條件的,由,得.求平面和平面的法向量,利用空間二面角的夾角公式列方程組,若方程組有解則肯定回答,即存在滿足已知條件的;否則則否定回答,即不存在滿足已知條件的.
試題解析:(I)證明:在矩形中,連結(jié)交于,則點(diǎn)為的中點(diǎn).在中,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),.又平面平面平面 4分
(II)解:由則.由平面平面且平面平面,得平面又矩形中以為原點(diǎn),所在的直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則 6分
設(shè)平面的法向量為
可取.
設(shè)直線與平面所成角為,則. 8分
(III)設(shè),得.設(shè)平面的法向量為則由得 10分
由平面與平面所成的銳二面角為得,或(舍).
故在上存在滿足條件. &nbs
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知在四棱錐中,底面是矩形,平面,、分別是、的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若與平面所成角為,且,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長(zhǎng)均相等.D,E,F分別為棱AB,BC,A1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是AB中點(diǎn),AC = 1,BC = 2,AA1 = 4.
(Ⅰ)當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí),求證:CF∥平面AEB1;
(Ⅱ)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A—EB1—B的余弦值是,若存在,求CE的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
將棱長(zhǎng)為的正方體截去一半(如圖甲所示)得到如圖乙所示的幾何體,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=2PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.
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