如圖,三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC1上動點,F(xiàn)是AB中點,AC = 1,BC = 2,AA1 = 4.
(Ⅰ)當(dāng)E是棱CC1中點時,求證:CF∥平面AEB1;
(Ⅱ)在棱CC1上是否存在點E,使得二面角A—EB1—B的余弦值是,若存在,求CE的長,若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)詳見試題解析;(Ⅱ)在棱上存在點
使得二面角A—EB1—B的余弦值是
,且
解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)直線平行平面的判定定理,需要在平面AEB1內(nèi)找一條與CF平行的直線.根據(jù)題設(shè),可取的中點
,通過證明四邊形
是平行四邊形來證明
,從而使問題得證;(Ⅱ)由于
兩兩垂直,故可以
為坐標(biāo)原點,射線
為
軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系,利用空間向量求解.
試題解析:(Ⅰ)證明:取的中點
,聯(lián)結(jié)
∵分別是棱
、
的中點,
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形,
∴
∵平面
,
平面
∴平面
(Ⅱ)解:由于兩兩垂直,故可以
為坐標(biāo)原點,射線
為
軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示
則
設(shè) ,平面
的法向量
,
則
由
得,取
得:
∵平面
∴是平面
的法向量,則平面
的法向量
∵二面角的平面角的余弦值為
∴
解之得
∴在棱上存在點
使得二面角A—EB1—B的余弦值是
,且
.
考點:1、直線與平面平等的判定;2、二面角;3、空間向量的應(yīng)用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
正方體的棱長為
,線段
上有兩個動點
,且
,則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.![]() |
B.三棱錐![]() |
C.二面角![]() |
D.異面直線![]() |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直三棱柱中,
、
分別是棱
、
的中點,點
在棱
上,已知
,
,
.
(1)求證:平面
;
(2)設(shè)點在棱
上,當(dāng)
為何值時,平面
平面
?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中點.
(1)求證:AC⊥B1C;
(2)求證:AC1∥平面B1CD;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,PDCE為矩形,ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=
。
(I)若M為PA中點,求證:AC∥平面MDE;
(II)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;
(III)在線段PC上是否存在一點Q(除去端點),使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=,AD=1.
(I)求證:CD⊥平面PAC;
(II)側(cè)棱PA上是否存在點E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出點E的位置,并證明,若不存在,請說明理由.
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