Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1（a≥0）．
（1）試討論函數(shù)f（x）在[0，2]的單調(diào)性；
（2）若a＞1，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上只有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=0時，函數(shù)f（x）=-2x+1，在[0，2]上是減函數(shù)．
當a＞0時，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1的圖象是拋物線，開口向上，對稱軸為x=，
若≥2，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，2]上是減函數(shù)．
若，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，]上是減函數(shù)，在[，2]上是增函數(shù)．
綜上，當 a=0或≥2 時，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，2]上是減函數(shù)；
當，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，]上是減函數(shù)，在[，2]上是增函數(shù)．
（2）若a＞1，則，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，]上是減函數(shù)，在[，2]上是增函數(shù)，
故函數(shù)的最大值為 f（2）=4a-3，最小值為 f（）=1-．
（3）當a=0時，函數(shù)f（x）=-2x+1在區(qū)間（0，2）上只有一個零點x=，符合題意．
當a＞0時，
①若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個相等的零點（即一個零點），
則，解得a=1，符合題意．
②若函數(shù)f（x）有二個零點，一個零點在區(qū)間（0，2）內(nèi)，另一個零點在區(qū)間（0，2）外
則f（0）f（2）＜0，即4a-3＜0，得．
綜上：f（x）在區(qū)間（0，2）上有一個零點時a的取值范圍為，或a=1．
分析：（1）分a=0、≥2、三種情況，分別利用函數(shù)的圖象性質(zhì)，研究函數(shù) 在[0，2]的單調(diào)性．
（2）根據(jù)a＞1，則，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在[0，]上是減函數(shù)，在[，2]上是增函數(shù)，由此求得函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值和最小值．
（3）當a=0 時，f（x）為一次函數(shù)，經(jīng)檢驗滿足條件．當a＞0時，分函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個相等的零點、函數(shù)f（x）只有一個零點 兩種情況，分別求出
a的取值范圍，再取并集．
點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間的方法，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，注意分類的層次，屬于中檔題．