Question

4．已知點H（-1，0），動點P是y軸上除原點外的一點，動點M滿足PH⊥PM，且PM與x軸交于點Q，Q是PM的中點．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）若點F是曲線E的焦點，過F的兩條直線l₁，l₂關于x軸對稱，且分別交曲線E于AC，BD，若四邊形ABCD的面積等于$\frac{1}{2}$．求直線l₁，l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{PH}$=（-1，-y′），$\overrightarrow{PQ}$=（x′，-y′），利用PH⊥PM，求動點M的軌跡E的方程；
（2）聯(lián)立直線l₁：x=my+$\frac{1}{8}$（m＞0）與曲線E，得${y}^{2}-\frac{m}{2}y-\frac{1}{16}=0$，結合韋達定理，即可用m表示四邊形ABCD的面積，求出m，即可求直線l₁，l₂的方程．

解答 解：（1）設M（x，y），P（0，y′）（y′≠0），Q（x′，0），
$\overrightarrow{PH}$=（-1，-y′），$\overrightarrow{PQ}$=（x′，-y′），
∵PH⊥PM，
∴-x′+y′²=0，
∵$x′=\frac{x}{2}，y′=-y$，∴y²=$\frac{x}{2}$（y≠0）；
（2）聯(lián)立直線l₁：x=my+$\frac{1}{8}$（m＞0）與曲線E，得${y}^{2}-\frac{m}{2}y-\frac{1}{16}=0$，
∴y_A+y_C=$\frac{m}{2}$，y_Ay_C=-$\frac{1}{16}$，
由題意，四邊形ABCD是等腰梯形，
∴S=$|\frac{（2{y}_{A}+2{y}_{D}）（{x}_{D}-{x}_{A}）}{2}|$=$|-m（{y}_{A}-{y}_{C}）^{2}|$=|$\frac{{m}^{2}+m}{4}$|=$\frac{1}{2}$．∴m=1，
∴直線l₁：x=y+$\frac{1}{8}$，直線l₂：x=-y+$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查面積的計算，屬于中檔題．