Question

18．已知直線l：2mx-y-8m-3=0和圓C：x²+y²-6x+12y+20=0相交于A，B兩點，當線段AB最短時直線l的方程為x+3y+5=0．

Answer 1

分析 直線過定點，根據直線和圓相交的性質確定線段AB最短時的等價條件即可．

解答 解：將直線l變形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
由x-4=0，y+3=0得x=4，y=-3，即直線L恒過A（4，-3），
將圓C化為標準方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圓心C為（3，-6），半徑r=5，
∵點A到圓心C的距離d=$\sqrt{（4-3）^{2}+（-3+6）^{2}}$=$\sqrt{10}$＜5=r，
∴點A在圓內，
則L與C總相交；
若線段AB最短，則滿足CA⊥L，
∵直徑AC所在直線方程的斜率為$\frac{-3+6}{4-3}$=3，
∴此時l的斜率為-$\frac{1}{3}$，
則直線方程為y+3=-$\frac{1}{3}$（x-4），
即x+3y+5=0，
故答案為：x+3y+5=0．

點評 本題主要考查直線與圓相交的性質，考查恒過定點的直線方程，圓的標準方程的應用，要求熟練掌握直線和圓相交的性質．