Question

已知a＞0且a≠1，數列{a_n}中，a₁=a，（n∈N^*），令b_n=a_n•log₂a_n．
（1）若a=2，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（2）若b_n+1＞b_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）數列{a_n}是首項為a、公比為a的等比數列，從而可得數列{a_n}、{b_n}的通項，利用錯位相減法，可求數列的和；
（2）b_n+1＞b_n，等價于（n+1）aⁿ⁺¹•log₂a＞naⁿ•log₂a，對a分類討論，即可確定a的取值范圍．
解答：解：（1）∵a₁=a，（n∈N^*），
∴數列{a_n}是首項為a、公比為a的等比數列，
∴
∴b_n=a_n•log₂a_n=aⁿ•log₂aⁿ=naⁿ•log₂a．
∵a=2，
∴b_n=n•2ⁿ•log₂2=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=1×2²+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹；
（2）∵b_n+1＞b_n，
∴（n+1）aⁿ⁺¹•log₂a＞naⁿ•log₂a．
當a＞1時，log₂a＞0，∴（n+1）a＞n，∴a＞，
∵，而a＞1，
∴a＞1時，a＞成立，即b_n+1＞b_n．
當0＜a＜1時，log₂a＜0，∴（n+1）a＜n，∴a＜，
∵單調遞增，
∴n=1時，=
∴0＜a＜時，a＜成立，即即b_n+1＞b_n．
綜上得，a的取值范圍是（0，）∪（1，+∞）．
點評：本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．