Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+4x，（0≤x＜1）}\\{lo{g}_{2013}x，（x＞1）}\end{array}\right.$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是（2，2014）．

Answer 1

分析 當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=-4（x-$\frac{1}{2}$）²+1，可得f（x）∈[0，1]．當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=log₂₀₁₃x＞0．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．利用二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出

解答 解：當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=-4（x-$\frac{1}{2}$）²+1，可得f（x）∈[0，1]．
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=log₂₀₁₃x＞0．
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象：

不妨假設(shè)a＜b＜c，
由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得a+b=1．
由0＜log₂₀₁₃c＜1，解得1＜c＜2013，
∴2＜a+b+c＜2014．
∴a+b+c的取值范圍是（2，2014）．
故答案為：（2，2014）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．