Question

10．設函數f（x）=e^x（2x-3）-ax²+2ax+b，若函數 f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，且極小值點x₁大于極大值點x₂，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{2}}）∪（{2{e^{\frac{3}{2}}}，+∞}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}）∪（{4{e^{\frac{3}{2}}}，+∞}）$
• C． $（{-∞，2{e^{\frac{3}{2}}}}）$
• D． $（{-∞，1}）∪（{4{e^{\frac{3}{2}}}，+∞}）$

Answer 1

分析 由題意可知：求導，y=e^x（2x-1）與y=2a（x-1）有兩個交點，設切點坐標，根據直線的斜率公式及導數的幾何意義，即可求得切點，代入根據函數函數的單調性即可求得求得a的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=e^x（2x-3）-ax²+2ax+b，求導f′（x）=e^x（2x-1）-2ax+2a，
由題意可知函數 f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，則y=e^x（2x-1）與y=2a（x-1）有兩個交點，
則設切點（x₀，${e}^{{x}_{0}}$（2x₀-1）），y=2a（x-1）恒過點（1，0）
求導y′=e^x（2x+1），令y′＞0時，解得x＞-$\frac{1}{2}$，當y′＜0，解得x＜-$\frac{1}{2}$，
∴y=e^x（2x-1）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）單調遞減，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）單調遞增；
則y=e^x（2x-1）在（x₀，${e}^{{x}_{0}}$（2x₀-1））處的切線斜率k=${e}^{{x}_{0}}$（2x₀+1），
則${e}^{{x}_{0}}$（2x₀+1）=$\frac{{e}^{{x}_{0}}（2{x}_{0}-1）}{{x}_{0}-1}$，整理得：2x₀²-3x₀=1，解得：x₀=0，或x₀=$\frac{3}{2}$，
∴當x₀=0時，則k=1，即2a=1，a=$\frac{1}{2}$，
x₀=$\frac{3}{2}$，則k=4${e}^{\frac{3}{2}}$，2a=4${e}^{\frac{3}{2}}$，a=2${e}^{\frac{3}{2}}$，
要使y=e^x（2x-1）與y=2a（x-1）有兩個交點，
則0＜a＜$\frac{1}{2}$或a＞2${e}^{\frac{3}{2}}$，
當0＜a＜$\frac{1}{2}$，f′（x）=0，則y=e^x（2x-1）與y=2a（x-1）有兩個交點x₁，x₂，
令由函數圖象可知（-∞，x₂）單調遞增，在（x₂，x₁）單調遞減，在（x₁，+∞）單調遞增，
則當x=x₂時，取極大值，當x=x₁取極小值，且x₂＜x₁，
滿足極小值點x₁大于極大值點x₂，
同理可知：極小值點x₁大于極大值點x₂，
∴實數a的取值范圍（0，$\frac{1}{2}$）∪（2${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞），
另解：取a=0代入可知不合題意，f（x）=e^x（2x-3）+b的導數為f′（x）=e^x（2x-1），
只有極小值，無極大值．
則BCD三項均不合，
故選A．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查導數與函數單調性及極值的關系，導數的幾何意義，考查數形結合思想，屬于難題．