Question

7．已知拋物線G：y²=2px（p＞0），過焦點F的動直線l與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為M．
（Ⅰ）當直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$時，|AB|=16．求拋物線G的方程；
（Ⅱ） 對于（Ⅰ）問中的拋物線G，是否存在x軸上一定點N，使得|AB|-2|MN|為定值，若存在求出點N的坐標及定值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線l的方程為$x=ty+\frac{p}{2}（t∈R）$，$A（\frac{y_1^2}{2p}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{2p}，{y_2}）$，聯(lián)立 $\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$，利用韋達定理以及弦長公式求解拋物線G的方程．
（2）假設(shè)在x軸上存在點N（a，0）使得|AB|-2|MN|為定值．由（1）知|AB|=8（t²+1）求出M的坐標，求出|MN|的表達式，然后轉(zhuǎn)化求解在x軸上存在點N（3，0）使得|AB|-2|MN|為定值6．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意知$F（\frac{p}{2}，0）$
設(shè)直線l的方程為$x=ty+\frac{p}{2}（t∈R）$，$A（\frac{y_1^2}{2p}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{2p}，{y_2}）$…..（1分）
由 $\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$得：y²-2pty-p²=0△=4p²t²+4p²＞0，
${y_1}+{y_2}=2pt，{y_1}{y_2}=-{p^2}$…（2分）
$|AB|=\sqrt{{{（\frac{y_1^2}{2p}-\frac{y_2^2}{2p}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=2p（{t^2}+1）$…．（4分）
當直線l傾斜角為$\frac{π}{4}$時，t=1，|AB|=4p=16，得p=4，
所以拋物線G的方程為y²=8x．…．（6分）
（2）假設(shè)在x軸上存在點N（a，0）使得|AB|-2|MN|為定值．
由（1）知|AB|=8（t²+1）…（7分）
${x_M}=\frac{t}{2}（{y_1}+{y_2}）+2=4{t^2}+2$，y_M=4t，
即M（4t²+2，4t）…．（8分）
若滿足題意$2|MN|=2\sqrt{16{t^4}+（32-8a）{t^2}+{{（2-a）}^2}}=2（4{t^2}+k）$…（10分），
即$\left\{{\begin{array}{l}{4{t^2}+k≥0}\\{32-8a=2k}\\{{{（2-a）}^2}={k^2}}\end{array}}\right.$解得a=3，k=1，
此時|AB|-2|MN|=6
綜上在x軸上存在點N（3，0）使得|AB|-2|MN|為定值6…．（12分）
注：其它做法酌情給分

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及這些與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值問題的處理方法，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．