Question

過圓C：（x-6）²+（y-4）²=8上一點(diǎn)A（4，6）作圓的一條動弦AB，點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x=1的對稱點(diǎn)為E，關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)為F，求|EF|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接PC，由垂徑定理知，PC⊥AB，所以點(diǎn)P的軌跡是以線段AC為直徑的圓（除去點(diǎn)A），求出AC中點(diǎn)C₁坐標(biāo)，圓半徑，即可求得點(diǎn)P的軌跡方程；                  
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），求出點(diǎn)E（2-x，y），點(diǎn)F（y，x），得到關(guān)系式，設(shè)點(diǎn)M（1，1），則|EF|=|PM|，利用|MC₁|-r≤|PM|≤|MC₁|+r，即可求得|EF|的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）連接PC，由垂徑定理知，PC⊥AB，所以點(diǎn)P的軌跡是以線段AC為直徑的圓（除去點(diǎn)A）．
因?yàn)辄c(diǎn)A（4，6），C（6，4），則AC中點(diǎn)C₁坐標(biāo)為（5，5），又圓半徑．
故點(diǎn)P的軌跡方程是（x-5）²+（y-5）²=2 （x≠4，y≠6）．（4分）                        
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
因?yàn)辄c(diǎn)P、E關(guān)于x=1對稱，則點(diǎn)E（2-x，y） 
因?yàn)镻、F關(guān)于y=x對稱，則點(diǎn)F（y，x） （6分）                                         
所以 
設(shè)點(diǎn)M（1，1），則|EF|=|PM|
∵|MC₁|-r≤|PM|≤|MC₁|+r
∴，
∴6≤|EF|≤10（12分）
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查軌跡方程的求解，考查圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是充分利用圓的性質(zhì)，屬于中檔題．