Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-bx+1，
（Ⅰ）是否存在實(shí)數(shù)a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求實(shí)數(shù)a，b的值，若不存在請(qǐng)說明理由．
（Ⅱ）若a＜0，b=a-2，且不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中f（x）＞0的解集是（3，4），我們易根據(jù)不等式、函數(shù)、方程之間的辯證關(guān)系，得到方程ax²-bx+1=0的兩根為3，4，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求出滿足條件的求出滿足實(shí)數(shù)a，b的值，再結(jié)合一元二次不等式解集與系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)論．
（II）根據(jù)a＜0，b=a-2，我們易判斷出函數(shù)f（x）圖象的形狀及在區(qū)間（-2，-1）上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)恒成立問題，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）不等式ax²-bx+1＞0的解集是（3，4）
故方程ax²-bx+1=0的兩根為3，4，
則是3+4=，3×4=
∴a=，b=
而當(dāng)a=時(shí)，a＞0，
不等式ax²-bx+1＞0的解集是（-∞，3）∪（4，+∞）滿足要求
故不存在實(shí)數(shù)a，b使f（x）＞0的解集是（3，4）．
（II）∵a＜0，b=a-2，
∴f（x）=ax²-（a-2）x+1，
又∵不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，
又∵函數(shù)f（x）=ax²-（a-2）x+1是開口方向朝下，以x=為對(duì)稱軸的拋物線
∴函數(shù)f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞增
∴f（-2）≥0或f（-1）≤0
解得a＜0，所以a∈（-∞，0）（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次不等式與一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)，一元二次不等式與一元二次方程，之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．