Question

已知直線L：y=x+1與曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞1，b＞0)交于不同的兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若|OA|=|OB|，試探究在曲線C上僅存在幾個(gè)點(diǎn)到直線L的距離恰為a-

2

2

？并說明理由；
（2）若OA⊥OB，且a＞b，a∈[

6

2

，

10

2

]，試求曲線C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在曲線C上存在3個(gè)點(diǎn)到直線L的距離恰為a-

2

2

．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|OA|=|OB|得|OA|²=|OB|²，所以x₁+x₂=-1，由此能求出結(jié)果．
（2）因?yàn)閍＞b，所以曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，由OA⊥OB，O

A

•O

B

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，知2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，由此能求出曲線C的離心率e的取值范圍．

解答：解：（1）在曲線C上存在3個(gè)點(diǎn)到直線L的距離恰為a-

2

2

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由|OA|=|OB|得|OA|²=|OB|²，（2分）
又點(diǎn)A，B在直線L上，得y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，
代入上式化簡(jiǎn)得（x₁-x₂）（x₁+x₂+1）=0（4分）
由x₁≠x₂，∴x₁+x₂=-1，
由

y=x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

，得(a2+b2)x2+2a2x+a2-a2b2=0（6分）
所以x1+x2=-

2a2

a2+b2

=-1，
于是a²=b²，這時(shí)曲線C表示圓x²+y²=a²，
O到直線L的距離d=

1

2

=

2

2

，
故曲線C上僅存在3個(gè)點(diǎn)到直線L的距離恰為a-

2

2

．（8分）
（2）因?yàn)閍＞b，所以曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
由OA⊥OB，O

A

•O

B

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，∴2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0（9分）
由（1）得x1+x2=-

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2-a2b2

a2+b2

，
代入上式整理得a²+b²=2a²b²，
a2+a2-c2-2a2(a2-c2)=0，c2=

2a2(a2-1)

2a2-1

，
e2=

c2

a2

=

2(a2-1)

2a2-1

=1-

1

2a2-1

，a∈[

6

2

，

10

2

]，
得e∈[

2

2

，

3

2

]
而△=（2a²）²-4（a²+b²）（a²-a²b²）=4a²b²（a²+b²-1）＞0，
∴e∈[

2

2

，

3

2

]．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的探索，考查離心率的取值范圍的求法，考查推理論證能力，考查推導(dǎo)計(jì)算能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查分類討論思想．