Question

如圖所示，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C：的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點；已知頂點B到F₁、F₂兩點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明：橢圓C上任意一點M（x，y）到右焦點F₂的距離的最小值為1．
（3）作AB的平行線交橢圓C于P、Q兩點，求弦長|PQ|的最大值，并求|PQ|取最大值時△F₁PQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)頂點B到F₁、F₂兩點的距離之和為4，可得，從而可求橢圓方程；
（2）計算出橢圓C上任意一點M（x，y）到右焦點F₂的距離，根據(jù)x∈[-2，2]，可證結(jié)論；
（3）先求，再求點F₁（-1，0）到直線PQ的距離，即可求得△F₁PQ的面積．
解答：（1）解：由已知得，
∴橢圓方程為…（2分）
（2）證明：∵M（x，y），F(xiàn)₂（1，0）且x∈[-2，2]，
∴…（4分）
∴僅當M（x，y）為右頂點時|MF₂|_min=1…（5分）
（3）解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）∵，
∴可設(shè)直線PQ：，
代入，得…（7分）
由韋達定理知，，，…（9分）
又，
∴=
僅當m=0時…（12分）
而點F₁（-1，0）到直線PQ：的距離，
∴．…（14分）
點評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線與橢圓方程聯(lián)立，從而利用韋達定理解題．