Question

已知函數(shù)①f（x）=x²；②f（x）=lnx；③f（x）=e^cosx；④f（x）=e^x．其中對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₁都存在唯一的一個(gè)自變量x₂，使f（x₁）•f（x₂）=1成立的函數(shù)是

 

（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)，多填、少填均不給分）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題中所給的新定義，試用選項(xiàng)中提供的函數(shù)，對(duì)新定義進(jìn)行驗(yàn)證，選出符合新定義的函數(shù)序號(hào)．

解答： 解：①當(dāng)f（x）=x²時(shí)，
對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的一個(gè)自變量x₁=0，對(duì)于任意自變量x₂，f（x₁）=x12=0，f（x₁）•f（x₂）=0≠1．故函數(shù)①不符合題中條件；
②當(dāng)f（x）=lnx時(shí)，
對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的一個(gè)自變量x₁=1，對(duì)于任意自變量x₂，f（x₁）=lnx₁=0，f（x₁）•f（x₂）=0≠1．故函數(shù)②不符合題中條件；
③當(dāng)f（x）=e^cosx時(shí)，
對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₁都存在一個(gè)自變量x₂=π+x₁，cosx₂=cos（π+x₁）=-cosx₁，
f（x₁）•f（x₂）=ecosx1•ecosx2=ecosx1+cosx2=e0=1；
對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₁都存在一個(gè)自變量x₂=3π+x₁，cosx₂=cos（3π+x₁）=-cosx₁，
f（x₁）•f（x₂）=ecosx1•ecosx2=ecosx1+cosx2=e0=1；
x₂不惟一．故函數(shù)③不符合題中條件；
④當(dāng)f（x）=e^x時(shí)，
對(duì)于f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x₁，存在唯一的一個(gè)自變量x₂=-x₁，f（x₁）•f（x₂）=ex1•ex2=ex1+x2=e0=1．
故函數(shù)④符合題中條件．
故答案為④．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)抽象函數(shù)的一個(gè)特征，研究了二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和規(guī)律．本題思維能力要求高，計(jì)算難度較大，屬于中檔題．