Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0），過(guò)點(diǎn)F作圓：x2+y2=

b2

4

的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若|FE|=|EP|，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  10

• B、

  5

• C、

  10

  2

• D、

  5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，由中位線定理和圓的切線的性質(zhì)，可得|PF'|=2|OE|=b，且PF⊥PF'，由勾股定理和雙曲線的定義，可得b=2a，再由離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，
過(guò)點(diǎn)F作圓：x2+y2=

b2

4

的切線，切點(diǎn)為E，
則|OE|=

b

2

，OE⊥PF，
由于|FE|=|EP|，
∴E為PF的中點(diǎn)，
則|PF'|=2|OE|=b，
且PF⊥PF'，
∴|PF|²=|FF'|²-|PF'|²=4c²-b²，
由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2a，
即有|PF|=2a+b，
∴4c²-b²=（2a+b）²，
且c²=a²+b²，
化簡(jiǎn)得b=2a，
∴c=

a2+b2

=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的方程和性質(zhì)：離心率，同時(shí)考查了雙曲線的定義，屬于中檔題．